数学家们的研究表明，从某种意义上说，绝对公平的选举是不可能实现的。没有任何一种选举制度，能既保证地方选票直接转化为地方席位，又保证总席位分配完全符合整体得票比例——除非议会的规模可以无限扩张。
这项研究由剑桥大学和哥本哈根大学的研究人员共同完成。他们分析了比例代表制和“胜者全得”制（简单多数决制）等不同的选举制度，发现无论采用哪种制度，在选举国家立法机构时，都必须做出某种妥协。对大多数制度而言，这种妥协往往发生在三个要素之间：地方代表性、绝对的比例代表性，以及议会的规模。
过去十年里，由于政党日益碎片化，北欧民主国家的选民已经切身体会到了这种妥协带来的后果。在丹麦，尽管实行比例代表制，但在 2022 年大选中，左翼联盟却在得票数少于右翼联盟的情况下赢得了选举。在德国，为了兼顾地方代表性和比例性，德国联邦议院的规模不断膨胀，直到 2023 年进行改革才得以遏制。而在英国， 2024 年大选的比例代表性创下了历史新低——工党仅凭 33.7% 的得票率，就狂揽了 63% 的席位。
不过，研究人员指出，虽然不存在绝对“公平”的选举制度，但我们依然有办法化解地方性、比例性与议会规模之间的冲突，将不可能变为可能。他们的研究成果已发表在《运筹学年报》上。
这项研究始于 2022 年丹麦议会选举。当时，丹麦 75 年来首次出现得票数与席位数不匹配的情况。与许多欧洲国家类似，丹麦实行两级比例代表制。选民首先选出地方代表，系统随后会增加一定数量的“平衡”席位，以使各政党的席位比例大致符合其得票比例。但随着政党碎片化加剧，为了维持这种比例，所需的“平衡”席位也必须随之增加。在 2022 年的丹麦大选中，原本的 40 个平衡席位已经不够用了。
“从本质上讲，这几乎让整个系统崩溃了，”研究报告的共同作者、来自剑桥大学纯数学与数理统计系的弗雷德里克·拉温·克劳森博士说，“最终的结果是，社会民主党多拿了一个与其得票数不符的席位。当然，这按照英国的标准根本不算什么，但在两级比例代表制下，这本不应该发生。更具戏剧性的是，正是这多出来的一个席位，直接决定了整场大选的走向。”
克劳森与哥本哈根大学的合作者塞巴斯蒂安·蒂姆·霍尔杜姆共同推导出了一个“不可能定理”，生动展示了在政党碎片化加剧的情况下，各种选举制度是如何捉襟见肘的，而这已经对民主大选的结果产生了实质性的影响。
研究人员分析了全球各地的不同选举制度，包括英国等国采用的“胜者全得”制，以及欧洲其他大部分地区实行的比例代表制。他们归纳出了一个“公平”制度的三个核心要素：
- 地方性：任何赢得地方席位的候选人都能保留该席位。
- 比例性：全国总席位与全国总得票率相匹配。
- 固定议会规模：议会席位数量不随每次选举而改变。
“我们发现，一旦政党数量达到一定程度，这三个要素就必须舍弃其中一个，否则在数学上根本说不通，”克劳森说，“这不是因为腐败或阴谋，纯粹是数学规律使然。”
面对这三个原则，不同国家做出了不同的取舍。在德国，由于需要的平衡席位不断增加，德国联邦议院的席位在 2021 年从 598 席暴增至 736 席。 2023 年，德国对选举制度进行了改革，以阻止议会无限制扩张，但为了保持固定议会规模，他们不得不牺牲了“确保每个选区都有地方代表”这一原则。瑞典等国也采用了类似的模式。
而在实行“胜者全得”制的英国，被牺牲的则是比例性。在过去一个世纪的大部分时间里，英国实质上是双政党体制。但随着不同政治光谱的新政党不断涌现并壮大，这种制度便导致了“不公”的结果。在 2024 年，英国改革党赢得了 14.3% 的得票率，却只拿到了 650 个席位中的 5 席；相反，工党仅凭 33.7% 的得票率，就狂揽了 411 席。“在下一次英国大选中，选票与席位错配的情况可能会更加严重，”克劳森说道。
许多前英国殖民地继承了这一制度，如今也面临转型的阵痛。加拿大在经历多次改革尝试后，依然保留了“胜者全得”制。新西兰在 1993 年转向了比例代表制，但新西兰众议院的议会规模并非固定。
不过克劳森指出，数学同样可以提供一种潜在的解决方案。他和霍尔杜姆提出了一种名为“地理排名保证比例制”的算法，有望打破现有制度的死结。在他们的设想中，全国总席位在投票前即已确定，且不考虑地理位置，即任何获得 20% 选票的政党，都能稳拿 20% 的席位。随后，系统会根据各候选人在地方选区的得票表现进行强弱排名，并按名单顺序依次分配席位。
然而，这种制度虽然保证了比例性，却牺牲了地方性。因为一位候选人即使在本地选区轻松胜出，但如果其所属政党在其他选区的优势更强、且已经用完了分得的席位配额，那么这位候选人依然无法保住自己的席位。克劳森表示：“我们的研究结果表明，随着英国对比例代表制的讨论越来越受关注，世界上根本不存在‘完美’的选举制度。”
他说：“不过，我们还是可以说，某些制度确实比另一些表现得更好。‘必须在比例性、区域代表性或固定议会人数之间做出妥协’，这不能成为借口。这三个原则完全可以同时做到近似平衡，但现在的许多选举制度都没能做到这一点。”
更多信息
双层选举制度的不可能定理（Impossibility theorem for two-tier electoral systems），《运筹学年报》 (2026)。 DOI: 10.1007/s10479-026-07344-1
编译自 Phys.org，原文链接：点击阅读。作者加比·克拉克 (Gaby Clark) 和安德鲁·齐宁 (Andrew Zinin)加比·克拉克是拥有英语硕士学位的资深文字编辑，安德鲁·齐宁则是拥有物理学硕士学位和科研背景的科学新闻编辑。
