美国「高考」SAT 数学部分的备考经验

写作部分过后,没有休息时间,马上要开始做数学部分。SAT 考试的数学部分不难,但题干往往比较长,并且包括比较多的图表,因此同样需要有高速而准确的阅读能力。数学分为两个部分:

  • 第一部分25分钟、20道题,不许用计算器,有代数、解析几何、平面几何内容,其中有5道不是选择题,而是要填写数值计算结果;之后是5分钟休息,可离开教室、吃东西、上厕所。
  • 第二部分55分钟、38道题,可以用计算器,覆盖的领域和前面部分接近,但更难、题干更长、计算内容更多,有8道题要求填写数值计算结果。

旧版 SAT 考试阅读、写作和数学各占三分之一,而现在的 SAT 考试数学占总分一半、分量更重。这对于中国学生和在美国的华裔学生一般来说是有利的。

数学部分的题目比较简单,有很多只是简单的二元一次方程组,平面几何计算(面积和长度),解析几何找曲线直线的交点和坐标等等,还有一些应用题。但是,在这两个数学部分要取得满分还是不容易的,需要对题型熟悉,需要识别一些「脑筋急转弯」类别的题目,还需要了解在美国课堂上经常用到的一些术语和表达方式。在做完了前面的两个阅读和写作部分以后,考生一般会有些劳累。在这种时候,一定不能错过题目里面的细节。

数学的第一部分

20道题、25分钟内完成,不许用计算器。其中最后5道题是数值计算(把最后结果填到答题纸),其他题目都是选择题。我们随机选择了一套题进行统计,20道题里面有10道初等代数题(一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程,等等)、6道应用题、3道解析几何题、2道立体几何题、1道平面几何题、1道函数题、1道图表题,还有1道不等式题。总数加起来超过20,是因为有的题目同时属于两种题型;不等式的题目单列,是因为下一个数学部分还有若干的不等式题。

这部分相对简单,只要看懂题干里面问的到底是什么(尤其是对于应用题),一般就可以答对。一些应用题考察的是考生「建模」的能力,即怎样把生活中的实际问题转变为数学方程来求出结果。有一道解析几何题问的是抛物线和直线的交点,给出方程组(而不是数轴图),要求得出「距离X轴比较近的那个交点在Y轴上的(投影)读数」。像这样的题目,考生需要熟悉各种数学术语对应的英文单词。

数学的第二部分

这部分相对较难,以应用题为主。共38道题、55分钟,应当说时间还是比较充足的。前面的题目一般比较简单,考生要注意留出时间回答后面难度高一些的题。前面30道是选择题,后面8道是数值计算。

我们随机统计了一套题目,38道题里面有11道代数题,其中有1道用到了虚数概念,另外还有6道不等式题;有多达20道应用题、4道解析几何题、2道平面几何题、4道图表题,还有2道三角题。总数加起来超过38是因为有的题目同时属于两种题型。

应用题占了一半以上,说明这一部分注重解决实际工作中数学问题的能力,也注重阅读理解,因为题目如果读错了那么后面就无从说起。应用题里面很有一些脑筋急转弯的陷阱,比如:

  • 前面说两个人每人每天如何如何,后面问两人一个星期一共做了多少。
  • 前面描述抽样调查,后面问这个抽样结果的统计意义。
  • 前面说某两种商品降价销售,单价变成了若干,后面问不降价的时候两种产品一共能卖多少钱。
  • 前面讲某人兑换外币,交了多少手续费(而不是用了多少本币),后面问他携带的财产如果按这个汇率换成外币能换多少。
  • 前面讲某人的小时工资是某元底薪加销售提出,一周工作若干小时,后面问如果他两周(而不是一周)的工资是多少多少的话他的提成比例是什么。

图表题目也有这类陷阱。比如有的图表说某种疫苗对于某病毒的五类变种的有效率分别是百分之多少,然后给出了五类变种病毒在不同月份的出现概率,问该疫苗在其中一种病毒出现几率最高的时候,对所有五类变种病毒的总有效率。还有一道题给出了线性拟合,但是求的是从A点到B点(每个点都有三次测量结果)的中位数的变率(而不是平均值的改变)。

这类题目如果用中文来出,考生不难回答。但是用英文来出题的时候考生就需要格外注意语言里面的陷阱。

以上还算是只要考生细心,并且理解题干里的英文单词在该语境里面的意思,就能解决的。此外,还有一些题目,看上去条件不全,对于想得太多的考生反而不利。比如:

  • 有一道题给出了三个月的银行利息,问四年的总利息算法。那么这应该用单利还是复利呢?题目里面没有讲,而答案是自动采用了复利,即每三个月产生的利息、到下面的三个月开始时会自动加入到本金里面来计算新的利息,本金每三个月就增加一次,而不是每年算年利。这种自动假设为复利的算法,对于从小熟悉了教科书《白毛女》选段里面控诉黄世仁「利打利,利滚利」的一些华裔学生家长来说,可能不容易想到。
  • 有一道题说某糊涂教授丢了量筒,只知道没丢以前所有量筒直径的中位数(不是平均值)是在某两个数值之间,丢了的量筒,其直径,和其他所有量筒彼此之间的直径差有一个数值关系(是一个数值区间,可以化为不等式)。象这样的题,未知数的代数关系本身并不复杂,但是读起来很费事,容易理解错。

那么怎么办呢?可以使用排除法和数值代入法。排除一些明显不靠谱的答案。对其他答案选项,可以按照给出的数字(或者设定一个数字),代入题目验证一下,动笔写下来(试卷上可以写字)。这比对着题目凭空思考要管用。

数学部分并不难细节是关键力争满分

SAT 的数学题目对于数学方程的图形化和意义比较重视,比如一元方程的等式对应着解析几何里面的直线,不等式对应着一片面积,而包含了几个不等式的一个方程组可以对应由直线和曲线围起来的阴影部分。一些中国学生在解方程求根方面没有问题,但是对于应用题阅读和对不等式的直观意义理解需要加强训练。

小说《三体》的第一部里面讲到一个痴迷数学的人(叫「魏成」,后来被三体运动的一个领导「申玉菲」包养),说他看见一个方程脑海里出现的就是一个图形。这个人的数学思维就适合SAT考试。我们大家不需要成为这种数学奇人,但是在代数方程(包括不等式)和解析几何结合,以及把用文字表述的数值计算问题化为代数方程方面,可以学习这一点,注意数学方程和不等式代表的意义。

总之,SAT 的数学部分不难,但是要求考生十分细心,读懂题干(有时候会比较长),注意细节。这一部分是华裔学生和中国考生的强项,应当争取拿到满分。

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